|
|
|||||||||||||||||
Opinto-opas 2010-2011
MAT-31102 Numeerinen analyysi, 4 op
|
Vastuuhenkilö
Robert Piche
Opetus
| Opetusmuoto | P1 | P2 | P3 | P4 | Kesä | Toteutuskerrat | Luentoajat ja -paikat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Suoritusvaatimukset
Tentti.
Osasuoritusten pitää liittyä samaan toteutuskertaan
Osaamistavoitteet
Numeerinen analyysi on matematiikan ala, jossa suunnittellaan ja tutkitaan tietokonealgoritmit, jolla ratkaistaan reaali- ja kompleksifunktioiden matemaattiset probleemat, kuten yhtälöiden ratkaistaminen, funktion approksimointi, integraalin laskeminen, ja differentiaaliyhtälön ratkaiseminen. Teoria käsittelee sellaisia kysymyksiä kun approksimaation tarkkuus, suppenemisen nopeus, ja laskennan vaativuus. Teorian hyvä osaaminen on vältämättöntä, jos halutaan käyttää valmiita ohjelmistoja tai kehittää uusia. Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa johtaa perusalgoritmit ja käyttää niitä ratkaisemaan yksinkertaisia laskentatehtäviä funktiolaskimen avulla. Opiskelija pystyy arvioida approksimaatiokaavan tarkkuus, johtaa algoritmien uusia variantteja, selittää numeeristen ohjelmistojen tuloksia, arvioida iteraativisen kaavan suppeneminen, ja nimetä ja vertailla eri algoritmivaihtoehtoja tehtävän ratkaisemiseksi.
Sisältö
| Sisältö | Ydinaines | Täydentävä tietämys | Erityistietämys |
| 1. | Virhelajit; likiarvon tunnusluvut: absoluuttinen virhe, suhteellinen virhe, virheväli, oikeat desimaalit, merkitsevät numerot; virheen vaikutkuksen eteneminen peruslaskutoimituksissa, yhden muuttujan funktiossa, ja usean muuttujan funktiossa; merkitsevien numeroiden kumoamista ja sen lieventämistä käyttäen algebrallisia identtiteetteja tai sarja-approksimaatiota; liukulukuesityksen käsiteet: kanta, eksponentti, IEEE ykkös- ja kaksoistarkuusluvut, peräkkäislukuväli, kone-epsilon, pyöristysyksikkö, liukulukuaritmetiikan malli; pyöristysvirheen eteneminen lausekkeessa | pyöristys lähimpään parilliseen lukuun; pyöristysvirheen ja likiarvovirheen kasautuminen; virheen vaikutkuksen etenemisen peruslaskutoimituksissa kaavan johtoa; neliöllisen polynomin juurien laskukaava; erikoiset liukuluvut (0, inf, NaN, ei-normaalisoidut); summauksen a-priori virhe ja a-posteriori virhe; pyöristysvirhe Matlab-ohjelmistossa | IEEE liukulukujen koodaus |
| 2. | yhtälöratkaisumenetelmat: puolittämismenetelmä, Newtonin ja Raphsonin menetelmä, sekanttimenetelmä, menetelmien edut ja haitat; yhden muuttujan kiintopisteiteraation suppenemisen ehto; pysähtymiskriteerit; Hornerin algoritmi p ja p' laskemiseen; polynomijuurten herkkyys; Newtonin ja Raphsonin menetelmä usean muuttujan tehtävälle | monikertaiset nollakohdat; Brentin menetelmä; seitti-diagrammi; Newtonin ja Raphsonin neliöllinen suppeneminen; neliöjuuren laskeminen; saavutettava tarkkuus; deflaatio; usean muuttujan kiintopisteiteraation suppenemisen ehto; yhtälön ratkaiseminen Matlab-ohjelmiston avulla | suppenemiskriteerin todistus; Newtonin ja Raphsonin suppeneminen ja saavutettava tarkkuus monikertaisen nollakohdan tapauksessa; kaaottiset iteraatiot; polynomijuurin apumatriisi; 3 iteraatiota riittää neliöjuuren laskemiseen |
| 3. | polynomi-interpolaatio: määritelmä, yksikäsitteisyys, olemassaolo, katkaisuvirhe; Newtonin polynomin laskeminen jaetun differenssitaulukon avulla; lineaari-interpolaation stabilisuus; Rungen esimerkki; Hermiten kuutioasteen interpolointipolynomin johtoa | yksikäsitteisyyden ja olemassaolon todistaminen; virhekaavan johto; Hermiten kuutiopolynomin virhekaava ja stabiliusuus; interpolaatio Matlab-ohjelmiston avulla | sinifunktion interpoloinnin tasainen supeneminen; Newtonin polynomin johto; jaetun differenssin ominaisuudet; Hermiten kuutiopolynomin virhekaavan ja stabilisuuden johto |
| 4. | numeerinen integrointi: Newtonin ja Cotesin kaavan johto interpolaatiokaavasta, kaavan johto tuntemattomien kertoimien menetelmän avulla; puolisuunnikas- ja Simpsonin perussäännöt ja yhdistetyt säännöt ja niiden katkaisuvirheet; Rombergin kaava; adaptiivinen integrointi; epäoleellisten integraalien numeerinen laskenta: muuttujan vaihto, sarja-approksimaatio | Simpsonin säännön katkaisuvirheen johto; epäoleellisen integraalin "hännän leikkauksen" virhe; puolisuunnikassäänön rekursiivinen kaava; Rombergin kaava ja Newtonin ja Cotes kaavan osittainen yhtäläisyys; integraalin laskeminen Matlab-ohjelmiston avulla | Eulerin ja Maclaurinen summauskaava |
| 5. | pienin neliösumman keinon mukainen approksimointi: vektorien ja funktioiden painotettu Eukliden normi ja skalaaritulo, ortogonaalisuusehto, normaaliyhtälöt; ortogonaalipolynomijoukon laskeminen käyttäen tuntemattomia kertoimia, käyttäen ortogonaalisuusehto, ja käyttäen kolmen termin rekursiokaavaa | PLS-approksimaation yksikäsitteisyys; monikertaiset abskissat; PLS-approksimaatio Matlab-ohjelmiston avulla | Clenshawn algoritmi |
| 6. | tavallisten differentiaaliyhtälön alkuarvoprobleem (AAP):n normaalimuoto; Eulerin kaava: johto, käyttöä, yhden askeleen katkaisuvirhe; Heunin menetelmä ja Rungen ja Kuttan menetelmän kaavat ja tarkkuus; adaptiivinen ratkaisu; stabilisuustesti; kankeat tehtävät; puolisuunnikasmenetelmä | AAP:n ratkaisun yksikäsitteisyys; Eulerin kaavan globaali katkaisuvirhe; Heunin menetelmän katkaisuvirheen johto; AAP:n ratkaisu Matlab-ohjelmiston avulla |
Opintojakson arvostelu
tentti
Arvosteluasteikko:
Opintojaksolla käytetään numeerista arviointiasteikkoa (1-5)
Osasuoritukset:
Oppimateriaali
| Tyyppi | Nimi | Tekijä | ISBN | URL | Painos,saatavuus... | Tenttimateriaali | Kieli |
| Kirja | Introduction to Numerical Computation | Lars Eldén et al. | Englanti |
Tietoa esitietovaatimuksista
Esitietona opintokokonaisuudet Insinöörimatematiikka 1-4 tai Laaja matematiikka 1-4
Esitietoketju (Vaatii kirjautumisen POPiin)
Vastaavuudet
| Opintojakso | Vastaa opintojaksoa | Selite |
|
|
|
Lisätiedot
Soveltuu jatko-opinnoiksi
Tarkempia tietoja toteutuskerroittain
| Toteutus | Kuvaus | Opetusmuodot | Toteutustapa |