|
|
|||||||||||||||||
Opinto-opas 2011-2012
MAT-43650 Matemaattinen analyysi, 6 op
|
Lisätiedot
Soveltuu jatko-opinnoiksi
Vastuuhenkilö
Timo Hämäläinen
Opetus
| Opetusmuoto | P1 | P2 | P3 | P4 | Kesä | Toteutuskerrat | Luentoajat ja -paikat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Suoritusvaatimukset
Hyväksytysti suoritetut välikokeet tai tentti.
Osasuoritusten pitää liittyä samaan toteutuskertaan
Opetukseen ja oppimiseen liittyvät periaatteet ja lähtökohdat
-
Osaamistavoitteet
Opintojakson tarkoituksena on opettaa matemaattista ajattelua ja todistustekniikkaa sekä laajentaa opiskelijan analyysin perustiedot suunnilleen matemaattisesti orientoituneen ammattikirjallisuuden edellyttämälle tasolle. Kurssin suoritettuaan opiskelija - osaa lukea matemaattisia todistuksia - osaa itse tehdä rutiininomaisia todistuksia - ymmärtää erilaisia todistustekniikoita kuten induktio, kontrapositio, epäsuora todistus, epsilon-tekniikka. - ymmärtää miten luonnolliset-, kokonais- , rationaali-, reaali- ja kompleksiluvut voidaan systemaattisesti konstruoida joukko-opin ja Peano-aksiomien pohjalta.
Sisältö
| Sisältö | Ydinaines | Täydentävä tietämys | Erityistietämys |
| 1. | Joukko-oppia, funktiot ja relaatiot, erikoisesti ekvivalenssi- ja järjestysrelaatiot. | Joukkoperheet | |
| 2. | Luonnollisten lukujen perusominaisuuksien todistaminen Peano-aksioomista lähtien. Induktiotodistukset. | Rekursiolause ja sen todistus. | |
| 3. | Algebran perusteita. Binäärioperaatiot, rengas, kunta. Järjestetty rengas ja kunta. | Algebralliset struktuurit, homomorfismit. | Yleistetyt liitäntä- vaihdanta- ja osittelulait. |
| 4. | Kokonaislukujen konstruointi luonnollisista luvuista. Rationaalilukujen konstruointi kokonaisluvuista. Näiden perusominaisuuksien todistaminen. | Aritmetiikan peruslause, kokonaislukujen jaollisuus. | |
| 5. | Suppenevat- ja Cauchy-jonot. Epsilon todistukset. Reaalilukujen konstruointi rationaalisista Cauchy-jonoista. Reaalilukujen täydellisyys | Reaalilukujen täydellisyyden ja muiden ominaisuuksien todistus. | Lajennettu reallilukujen joukko. |
| 6. | Supremum ja infimum ja niiden perusominaisuudet. Topologiaa. Avoimet ja suljetut joukot, kasautumispisteet. | Kompaktisuus. | |
| 7. | Funktion raja-arvo, jatkuvuus, tasainen jatkuvuus. Derivaatta. Jonojen ala- ja yläraja-arvot, sarjat. Funktiotermiset jonot ja sarjat. Alkeisfunktioiden täsmällinen määrittely. | Funktion ylä- ja alaraja-arvot. Alkeifunktioiden perusominaisuuksien todistus. | Dini-derivaatat. |
Opintojakson arvostelu
Välikokeet tai tentti.
Arvosteluasteikko:
Opintojaksolla käytetään numeerista arviointiasteikkoa (1-5)
Osasuoritukset:
Oppimateriaali
| Tyyppi | Nimi | Tekijä | ISBN | URL | Painos,saatavuus... | Tenttimateriaali | Kieli |
| Opintomoniste | Suomi |
Tietoa esitietovaatimuksista
Esitiedoiksi suositellaan Insinöörimatematiikka 1-5 tai Laaja matematiikka 1-5.
Esitietoketju (Vaatii kirjautumisen POPiin)
Vastaavuudet
| Opintojakso | Vastaa opintojaksoa | Selite |
|
|
|
Tarkempia tietoja toteutuskerroittain
| Toteutus | Kuvaus | Opetusmuodot | Toteutustapa |