Kompleksimuuttujan funktiot, 5 op

Ydinsisältö

• Kompleksiluvut, peruslaskutoimitukset sekä niiden geometrinen tulkinta.
• Kompleksiset alkeisfunktiot ja niiden ominaisuudet.
• Funktion jatkuvuus, derivoituvuus ja analyyttisyys. Cauchy-Riemannin yhtälöt.
• Kompleksinen integraali ja siihen liittyvät lauseet: Analyysin peruslause, Cauchyn integraalilause, Cauchyn integraalikaava ja deformaatiolause.
• Taylorin ja Laurentin sarjat ja näiden sovelluksena erikoispisteet ja residylaskenta.

Täydentävä tietämys

• Kompleksisten funktioiden visualisointi
• Residylaskennan soveltaminen reaalisiin integraaleihin.

Erityistietämys

• Cauchyn integraalikaavan seurauksia: Liouvillen lause ja analyysin peruslause
• Sovellukset: Harmoniset funktiot ja/tai konformikuvaus