MAT-02451 Fourier'n menetelmät, 5 op
Fourier Methods
Vastuuhenkilö
Merja Laaksonen
Opetus
| Toteutuskerta | Periodi | Vastuuhenkilö | Suoritusvaatimukset |
| MAT-02451 2019-01 | 3 |
Merja Laaksonen |
Hyväksytysti suoritetut harjoitukset ja tentti saman toteutuskerran aikana. |
Osaamistavoitteet
Opintojakson suoritettuaan opiskelija kykenee muodostamaan jaksolliselle funktiolle Fourier-sarjan, sekä reaalisen että kompleksisen version, ja hallitsee näiden muuntelun toisikseen. Opiskelija pystyy laskemaan jaksottomalle funktiolle Fourier-muunnoksen helpohkoissa esimerkkitapauksissa käyttäen Fourier-muunnoksen määritelmää ja perusominaisuuksia. Opiskelija tietää toteutuuko Gibbsin ilmiö sarjan ja jatkuvan muunnoksen yhteydessä tietyissä helpohkoissa esimerkkitapauksissa. Opiskelija tuntee Diracin delta-funktion ja osaa käyttää sitä. Osaamistavoitteet saavutettuaan opiskelijalla on edellytykset ymmärtää, mihin edellä kuvattua tarvitaan. Fourier'n sarja on jaksollisen funktion taajuushajotelma ja Fourier'n muunnos on jaksottoman funktion taajuushajotelma. Käytännön tositilanteessa ei kuitenkaan ole noita matemaattisia funktioita ehkä olemassakaan, ei ainakaan käytettävissä, joten tarvitaan keino taajuushajotelman estimoimiseksi funktiosta otettujen näytearvojen perusteella. Keino on nimeltään diskreetti Fourier-muunnos. Sen laskemiseksi käytännössä riittävän nopeasti tarvitaan vielä nopea Fourier-muunnos, jonka keksiminen 1960-luvulla mullisti signaalinkäsittelyn ja on ollut sovelletun matematiikan kauaskantoisin algoritmi. Taajuushajotelma on tärkeä siksi, että sen kanssa on mahdollisuus suodattaa pois ei-toivotut taajuudet.
Sisältö
| Sisältö | Ydinsisältö | Täydentävä tietämys | Erityistietämys |
| 1. | Fourier-sarja: jaksolliset funktiot, sarjan kertoimet, erikoistapauksina parilliset ja parittomat funktiot, Gibbsin ilmiö. | Diriclet'n ehdot sarjan voimassaololle, äärellisellä välillä määritellyn funktion täydentäminen jaksolliseksi | |
| 2. | Kompleksinen Fourier-sarja, Parsevalin lause, sarja funktion taajuushajotelmana. | ||
| 3. | Diskreetti Fourier-muunnos ja sen ominaisuudet. | Nopean Fourier-muunnoksen merkitys. | |
| 4. | Fourier'n muunnos jaksottomalle funktiolle: määritelmä ja perusominaisuudet, muunnos taajuushajotelmana. | Konvoluutio, Parsevalin lause, Diracin delta-funktio työkaluna. |
Ohjeita opiskelijalle osaamisen tasojen saavuttamiseksi
Arvosana määräytyy harjoitusten ja tentin perusteella. Läpipääsyyn vaaditaan aktiivinen osallistuminen harjoituksiin ja hyväksytysti suoritettu tentti. Hyväksymisraja tentissä on maksimista puolet tai alempi. Tentissä saatuja pisteitä voi parantaa harjoituksissa aktiivisesta osallistumisesta. Ydinaineksen hallitseminen hyvin riittää opintojakson läpäisemiseen arvosanalla 3. Arvosanan 4 saavuttamiseksi on osattava myös täydentävän tietämyksen asioita. Arvosanaa 5 varten on osattava täydentävän tietämyksen asioita hyvin.
Arvosteluasteikko:
Arvosteluasteikko on numeerinen (0-5)
Osasuoritukset:
Oppimateriaali
| Tyyppi | Nimi | Tekijä | ISBN | URL | Lisätiedot | Tenttimateriaali |
| Opintomoniste | Merja Laaksonen | Monisteen saa toteutuskerran alkaessa Moodlesta. | Ei |
Esitietovaatimukset
| Opintojakso | P/S | Selite |
| MAT-01110 Insinöörimatematiikka A 1 | Pakollinen | |
| MAT-01310 Insinöörimatematiikka A 3 | Pakollinen |
Tietoa esitietovaatimuksista
tai muut vastaavat matematiikan peruskurssit. Suoritusmerkintää ei tarvitse olla, mutta asiat on osattava. Jos opiskelija ei hallitse kompleksilukuja, trigonometriaa eikä integrointia, niin kurssi vaatii todella paljon töitä.
Vastaavuudet
| Opintojakso | Vastaa opintojaksoa | Selite |
| MAT-02451 Fourier'n menetelmät, 5 op | MAT-02450 Fourier'n menetelmät, 4 op |