MAT-02450 Fourier'n menetelmät, 4 op
Fourier Methods
Vastuuhenkilö
Merja Laaksonen
Opetus
Toteutuskerta 1: MAT-02450 2015-01
| Opetusmuoto | P1 | P2 | P3 | P4 | Kesä |
|
|
|
|
|
|
|
Suoritusvaatimukset
Hyväksytysti suoritetut harjoitukset ja tentti.
Osaamistavoitteet
Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa muodostaa jaksolliselle funktiolle Fourier-sarjan, sekä reaalisen että kompleksisen version, ja osaa muuntaa näitä toisikseen. Opiskelija osaa muuntaa jaksollisen funktion ja sen tunnetun Fourier-sarjan toiseksi funktioksi Fourier-sarjoineen käyttäen sallittuja toimenpiteitä. Opiskelija osaa tehdä jaksottomalle funktiolle Fourier-muunnoksen helpohkoissa esimerkkitapauksissa käyttäen Fourier-muunnoksen määritelmää ja perusominaisuuksia. Opiskelija osaa ennustaa toteutuuko Gibbsin ilmiö sarjan ja jatkuvan muunnoksen yhteydessä tietyissä helpohkoissa esimerkkitapauksissa. Osaamistavoitteet saavutettuaan opiskelijalla on edellytykset ymmärtää, mihin edellä kuvattua tarvitaan. Fourier'n sarja on jaksollisen funktion taajuushajotelma ja Fourier'n muunnos on jaksottoman funktion taajuushajotelma. Käytännön tositilanteessa ei kuitenkaan ole noita matemaattisia funktioita ehkä olemassakaan, ei ainakaan käytettävissä, joten tarvitaan keino taajuushajotelman estimoimiseksi funktiosta otettujen näytearvojen perusteella. Keino on nimeltään diskreetti Fourier-muunnos. Sen laskemiseksi käytännössä riittävän nopeasti tarvitaan vielä nopea Fourier-muunnos, jonka keksiminen 1960-luvulla mullisti signaalinkäsittelyn ja on ollut sovelletun matematiikan kauaskantoisin algoritmi. Taajuushajotelma on tärkeä siksi, että sen kanssa on mahdollisuus suodattaa pois ei-toivotut taajuudet. Kaikesta muodostuu kokonaiskäsitys yhden sovellusesimerkin avulla. Kokonaisuus on kuitenkin liian laaja sisällytettäväksi niihin osaamistavoitteisiin, joiden saavuttamista arvioidaan tenttitehtävien avulla. Näin laajaa ja konkreettista käyttötarkoitusten ketjua voidaan harvoin esittää matematiikan opintojaksoilla.
Sisältö
| Sisältö | Ydinsisältö | Täydentävä tietämys | Erityistietämys |
| 1. | Fourier-sarja: jaksolliset funktiot, sarjan kertoimet, erikoistapauksina parilliset ja parittomat funktiot, Gibbsin ilmiö. | Diriclet'n ehdot sarjan voimassaololle, äärellisellä välillä määritellyn funktion täydentäminen jaksolliseksi | Sarjan derivointi ja integrointi termeittäin |
| 2. | Kompleksinen Fourier-sarja, Parsevalin lause, sarja funktion taajuushajotelmana. | ||
| 3. | Diskreetti Fourier-muunnos ja sen ominaisuudet. | Nopean Fourier-muunnoksen merkitys. | Sovellusesimerkkinä modulointi, suodatus, demodulointi. |
| 4. | Fourier'n muunnos jaksottomalle funktiolle: määritelmä ja perusominaisuudet, muunnos taajuushajotelmana. | Konvoluutio, Parsevalin lause |
Ohjeita opiskelijalle osaamisen tasojen saavuttamiseksi
Arvosana määräytyy harjoitusten ja tentin perusteella. Läpipääsyyn vaaditaan vähintään 40% aktiivinen osallistuminen harjoituksiin ja hyväksytysti suoritettu tentti. Hyväksymisraja tentissä on maksimista puolet tai alempi. Tentissä saatuja pisteitä voi parantaa harjoituksissa aktiivisesta osallistumisesta etukäteen saaduilla pisteillä eri taulukon mukaan. Ydinaineksen hallitseminen hyvin riittää opintojakson läpäisemiseen arvosanalla 3. Arvosanan 4 saavuttamiseksi on osattava myös täydentävän tietämyksen asioita. Arvosanaa 5 varten on osattava täydentävän tietämyksen asioita hyvin.
Arvosteluasteikko:
Opintojaksolla käytetään numeerista arviointiasteikkoa (1-5)
Esitietovaatimukset
| Opintojakso | P/S | Selite |
| MAT-01120 Insinöörimatematiikka B 1 | Suositeltava | |
| MAT-01320 Insinöörimatematiikka B 3 | Suositeltava |
Tietoa esitietovaatimuksista
tai muut vastaavat matematiikan peruskurssit
Vastaavuudet
| Opintojakso | Vastaa opintojaksoa | Selite |
| MAT-02450 Fourier'n menetelmät, 4 op | MAT-20451 Fourier'n menetelmät, 4 op |